数学家揭示镶嵌图案背后的深层构造 远不只是视觉上的装潢艺术

这项由海因里希·贝格尔（Heinrich Begehr）与王大年夜江（Dajiang Wang）合作完成的研究，揭橥在期刊《Applicable Analysis》上，结合了复分析、偏微分方程和几何函数论等多个范畴的思惟。 研究聚焦于所谓“镶嵌—反射道理”（parqueting-reflection principle）：经由过程沿多边形界线赓续做几何反射，将一个局部图形扩大为铺满整块平面的规矩图案。

这种办法与大年夜众熟悉的埃舍尔（M.C. Escher）式艺术镶嵌有类似之处，但研究注解，它在数学上的价值远超视觉后果。 具体而言，该道理为处理经典边值问题（如在数学物理中经常出现的狄利克雷问题和诺伊曼问题）供给了一种体系办法，使得在镶嵌区域内部构造函数表示成为可能。

贝格尔表示，数学之“美”不仅是一种审美断定，更表现为构造上的深度与计算上的高效。 与此前重要存眷“可否铺满平面”的镶嵌研究不合，应用镶嵌—反射道理生成新的镶嵌图案，可以直接转化为具体的函数表示对象，在数学物理和工程等范畴具有潜在应用价值。

研究的一个重要成果，是可以或许给出格林核（Green kernel）、诺伊曼核（Neumann kernel）以及施瓦茨核（Schwarz kernel）等“核函数”的显式公式。 这些核函数在解决各类边值问题中居于核心肠位，新的构造办法由此在几何直不雅与严谨分析之间搭建起清楚的桥梁。

以前十年间，“镶嵌—反射道理”在青年学者中持续激发兴趣。 自该概念提出以来，已在自由大年夜学柏林催生了十五篇学位论文与结题论文，在德国以外的高校也推动了七篇博士论文的完成。

值得留意的是，这一道理并不局限于欧几里得空间，在与理论物理和时空可视化密切相干的双曲几何中同样实用。 2024 年，贝格尔在《Complex Variables and Elliptic Equations》上揭橥论文《Hyperbolic Tessellation: Harmonic Green Function for a Schweikart Triangle in Hyperbolic Geometry》，展示了如安在双曲平面上一块名为“施魏卡特三角形”（Schweikart triangle）的区域内构造调和格林函数。

编译自/ScitechDaily

王大年夜江表示，欲望这项工作不仅在纯数学和数学物理内部产生影响，也能为建筑设计和计算机图形学等范畴带来新的灵感。 研究团队强调，现代图形软件和数字对象与这些数学构造结应时，可以进一步放大年夜其视觉和应用潜力。

近二十年来，贝格尔在自由大年夜学柏林数学研究所引导的团队一向致力于研究所谓“柏林镜面镶嵌”（Berlin mirror tilings）。 这一办法源自柏林数学家赫尔曼·阿曼德斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，1843–1921）提出的同一反射道理：经由过程反复反射由直线与圆弧构成界线的“圆多边形”，最终获得覆盖全部平面的无缝镶嵌。

这些图案不仅视觉上极具冲击力，更重要的是，它们可以或许产生函数的显式积分表示，这是解决复杂边值问题的关键对象。 贝格尔形象地回想说，早期数学家只能借助“三面打扮镜”来制造无穷反射的画面，如今则可以用迭代计算机法度榜样生成同样后果，并辅以复分析中的精确公式。

在双曲空间中（例如单位圆盘内）的镶嵌，被认为在视觉上尤为惊艳，却也给数学处理带来特别挑衅。 施魏卡特三角形——一种具有一个直角及两个“零角”的特别三角形、以业余数学家兼法学传授费迪南德·库尔特·施魏卡特（Ferdinand Kurt Schweikart，1780–1857）定名——恰是在这种背景下成为核心。

这类三角形可以在圆盘内形陈规矩、完全的镶嵌，其出现出来的图案为计算机图形艺术家和建筑师供给了新鲜的审美素材。 与此同时，其背后的数学构造极为复杂，依附高度蓬勃的分析办法支撑。

研究团队指出，这些成果再次注解，数学不仅是一门抽象学科，照样一门高度“可视”的科学，构造、对称与美感在个中扮演核心角色。 在现代可视化技巧、图形软件和数字对象的加持下，镶嵌与反射道理的应用前景有望进一步拓展，从理论摸索延长到工程实践与视觉创作等多个范畴。